Un trapecio ABCD de bases BC y AD cumple que angle DAB=angle ABC=90 ° . La circunferencia de diámetro AB es tangente al lado CD. Si BC=8 y AD=18 , calcule el área del trapecio ABCD.

Answer

Dado el trapecio $ABCD$ con bases $BC$ y $AD$ tal que $\angle DAB = \angle ABC = 90^\circ$ , sabemos que $AB$ es la altura del trapecio. La circunferencia de diámetro $AB$ es tangente al lado $CD$ , lo que implica que el radio de la circunferencia es la mitad de $AB$ , y el punto de tangencia es el punto medio de $CD$ .

Primero, denotemos la longitud de $AB$ como $h$ . Dado que el radio de la circunferencia es $\frac{h}{2}$ , el punto de tangencia divide $CD$ en dos segmentos iguales. Llamemos a la longitud de $CD$ como $x$ . Entonces, el punto de tangencia divide $CD$ en dos segmentos de longitud $\frac{x}{2}$ .

Consideremos los triángulos rectángulos $ABD$ y $ABC$ . En ambos triángulos, $AB = h$ es la altura. En el triángulo $ABD$ , la base es $AD = 18$ , y en el triángulo $ABC$ , la base es $BC = 8$ . La hipotenusa de ambos triángulos es la línea que une $B$ y $D$ o $A$ y $C$ , respectivamente, y también es la suma de las longitudes de los segmentos de $CD$ más el radio de la circunferencia.

En el triángulo $ABD$ , aplicamos el teorema de Pitágoras:

BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{h^2 + 18^2} = \sqrt{h^2 + 324}

En el triángulo $ABC$ , aplicamos el teorema de Pitágoras:

AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{h^2 + 8^2} = \sqrt{h^2 + 64}

Dado que $BD$ y $AC$ son iguales a la suma de los segmentos de $CD$ más el radio de la circunferencia, tenemos:

BD = AC = \frac{x}{2} + \frac{h}{2}

Igualamos las dos expresiones para $BD$ y $AC$ :

\sqrt{h^2 + 324} = \sqrt{h^2 + 64} + h

Elevamos al cuadrado ambos lados para eliminar las raíces cuadradas:

h^2 + 324 = h^2 + 64 + h^2 + 64h

Simplificamos y resolvemos para $h$ :

324 = 64 + h^2 + 64h

260 = h^2 + 64h

h^2 + 64h - 260 = 0

Resolvemos esta ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática $h = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ , donde $a = 1$ , $b = 64$ , y $c = -260$ :

h = \frac{-64 \pm \sqrt{64^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-260)}}{2 \cdot 1} = \frac{-64 \pm \sqrt{4096 + 1040}}{2} = \frac{-64 \pm \sqrt{5136}}{2} = \frac{-64 \pm 72}{2}

Tomamos la solución positiva:

h = \frac{8}{2} = 4

Ahora que tenemos $h = 10$ , calculamos el área del trapecio $ABCD$ . El área $A$ de un trapecio se calcula como:

A = \frac{1}{2} \times (BC + AD) \times h = \frac{1}{2} \times (8 + 18) \times 10 = \frac{1}{2} \times 26 \times 10 = 130

Por lo tanto, el área del trapecio $ABCD$ es:

\boxed{130}

Key Concept

To solve the problem involving the trapezoid ABCD with right angles at DAB and ABC, the key math concepts include:

Properties of Trapezoids: Understanding the characteristics of trapezoids, specifically that opposite sides are parallel (in this case, BC and AD).
Right Angles: Recognizing that angles DAB and ABC being 90° helps establish the perpendicularity of certain sides, assisting in calculations.
Dimensions and Area Calculation: Using the given lengths of the bases (BC and AD) to compute the height of the trapezoid. The area of a trapezoid can be calculated with the formula:
$\text{Area} = \frac{(b_1 + b_2) \cdot h}{2}$
where $b_1$ and $b_2$ are the lengths of the bases, and $h$ is the height.
Properties of Circles: Understanding that the circle with diameter AB being tangent to side CD implies a specific spatial relationship which could be relevant in visualizing the configuration, though not directly impacting the area calculation.
Coordinate Geometry: If necessary, converting points into coordinates may facilitate calculations involving distance and area, depending on how the trapezoid is oriented.

In summary, the problem engages with trapezoidal geometry, area calculation using base and height dimensions, and properties of right angles.

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